二重积分习题(关于二重积分的)

一、高数二重积分利用极坐标求解典型例题

二重积分中dσ就是平面坐标中的面积（在x-y坐标中,dx,dy互相垂直,直接dxdy就是微分面积）,然后用极坐标表示就是ρdρdθ,其实理解的就是用极坐标如何求微分面积的

首先,一般我们高中学习的极坐标求面积公式是S=1/2·l·r=1/2·r²·α=1/2·ρ²·θ,

微分的时候dσ=ρdρdθ,就是一楼的那个图,ρdθ是微分的弧（两个弧是近似一样的）,dρ就微分矩形的高.大概就是这么理解,理解了书上的知识相对就好理解一些了。

二、关于单次积分 转化为二重积分

二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

我觉得你对二重积分的认识还不够，你可以参考一下下面的资料。图看不了，可直接去看http://www2.tust.edu.cn/jingpin/gdsx/ja/z9/z9-3.htm

关于二次积分，很久没用了，我也不能给你说很明白，但我上学时，感觉积分并不难。它的作用非常广泛，比如求面积，规则的我们可以用高中学的公式，但世间毕竟不规则的物体更多，那就需要用积分。一次积分解决不了，就得用多重积分了。先把概念弄清楚，再多看些例题，它的应用你自然就明白了。

一、知识要点回顾

1．二重积分的定义；

2．二重积分的几何意义及其物理模型；

3．二重积分的性质：(1)线性性质；(2)区域可加性；(3)比较定理；(4)单调性；(5)估值不等式；(6)二重积分的中值定理．

4．直角坐标系下二重积分化二次积分

(1) X型区域特点及积分区域为X型区域时化二重积分为二次积分；

(2) Y型区域特点及积分区域为Y型区域时化二重积分为二次积分；

5．极坐标系下二重积分的计算

(1)何种二重积分适宜选择极坐标计算，要从积分区域和被积函数两方面考虑；

(2)．

二、练习

1．利用二重积分的性质估计积分

分析用二重积分的性质中的估值不等式，需要先找到被积函数在上的最大值及最小值．

解在上有

，

故在上，又的面积，从而由二重积分的估值不等式得

．

2．交换的积分次序．

2

1

-1

1

4

y

x

O

图1

分析要交换积分次序，必须先找到积分区域，这需依已知条件给出，由于已知是先对后对的二次积分，因此它是把积分区域看作Y—型区域化成的二次积分．为交换积分顺序，就要把积分区域看作X—型区域．我们先由已知条件确定出积分区域，然后按X—型区域化成二次积分．

解由题目条件，积分区域被直线及曲线所围成，由此描出(如图1)．题目所给的二次积分是把看作Y—型区域所得到的，改变积分次序就是要把看作（必要时分割为几部分）X—型区域．

显然可以看作X—型区域，但此时，其下边界为由抛物线及直线衔接而成的分段光滑曲线，为此需要把作分割．

解方程组

,

求得交点为及，作直线将分成两部分．按X—型区域，它们分别表示为

在上分别将二重积分化为二次积分并依据区域可加性得

图2

．

小结(1)交换积分次序的实质是把积分区域看作另一类型的区域，如果积分区域不能看作另一类型的区域，要将其分割为几个子区域，使每个子区域皆可以看作另一类型区域．例如，设是由曲线所界定的区域，显然它是Y—型区域，而不是X—型区域．为此我们用轴把它分成三个小子区域（图2）其中每个都是X—型区域．

(2)当一个区域看作X—型区域时，如果上或下边界方程中（至少）有一个是分段函数，要做平行轴的直线把它分为几个小区域，使每一个子区域的上下边界方程皆不出现分段函数．类似地，若左右边界方程中出现分段函数时，做平行于轴的直线将区域分割．

3．计算积分，其中由曲线及直线所围成的区域．

D

图3

分析积分区域如图3的阴影部分所示，它既可以看作X—型区域，也可以看作Y—型区域．若看作X—型区域，将会出现

(1)区域的上边界由两条直线衔接而成，这就需要将区域进行分割，产生麻烦．

(2)由于X—型区域需要化成先对的积分,但对来说，这也是困难的．

为此，我们把按Y—型区域处理．

解先求出的各顶点，它们是各条边的交点，为此解方程组

得顶点坐标分别是．

把看作Y—型区域，则有

于是

图4

4．计算，其中为由直线与曲线所围成的区域．

分析首先我们注意到被积函数的原函数不能求出，故我们应该避开先对积分，即不能把看作X—型区域，因此把看作Y—型区域．

解将看作Y—型区域，见图4，解方程组

得的两个顶点是，可表示为，于是

小结由练习题3、4可以看出，把一个区域是看作X—型区域还是Y—型区域

(1)首先注意被积函数的特点,一定要避开无法计算的积分出现,如等,或者说尽可能使积分易“积”出来．

(2)在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分段函数，即尽可能避免某侧边界是条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用题2所给的“切块法”．

(3)求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定．

5．计算二次积分．

分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．

解由所给的二次积分，我们得积分区域，其中

x

O

y

R

D1

D2

y=x

图5

是一个中心角为，半径为的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有

因此

小结(1)计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否进行．

(2)化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应

1)首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；

2)确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域；

3)用分别代换被积函数中的，并把面积元素用替代．

6．计算二重积分，其中是直线及上半圆周所围成的区域．

分析被积函数中含有因子，它用极坐标表示非常简单，积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算．

解在极坐标系下，的边界方程分别表示为（图6）

图6

因此这时可表示为

于是

．

小结采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积函数两方面出发．当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被从原点出发的两条射线所截得的部分；被积函数为等形式时可考虑采用极坐标．

不适合极坐标者用直角坐标．

7．计算，其中．

分析积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注意到积分区域关于都是对称的，而被积函数中关于都是奇函数，关于是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算．

解，由于关于轴对称，被积函数关于是奇函数，是偶函数，又为圆域，故

又的面积为，故

,

于是

．

小结(1)计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．

(2)当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为常数时，把重积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个定积分，然后将结果相乘．

8．计算，其中．

分析由于被积函数中含有绝对值号，故必须先去掉绝对值号，才能进行计算．在中的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域进行分割(见图7)，从而使得在每个子区域上有确定的符号．

x

O

y

D1

D2

D2

-1

1

图7

解抛物线将分成上下两部分，分别记作，于是

．

小结被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的符号不确定，应依据绝对值号内的式子的特点添加辅助线把区域进行分割，使得在每个子区域内该式有确定的符号．

当被积函数含有偶次根式或被积函数为一般分段函数时，也往往要考虑将积分区域进行分割．

三、高数题***关于二重积分的

高数题，关于二重积分的

解：∵z=√(12-x^2-y^2)，则

αz/αx=-x/√(12-x^2-y^2)，αz/αy=-y/√(12-x^2-y^2)

∴dS=√(1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2)dxdy=[2√3/√(12-x^2-y^2)]dxdy

故所求面积=∫∫<S>dS(S是xoy平面上的圆域：x^2+y^2≤8)

=∫∫<S>[2√3/√(12-x^2-y^2)]dxdy

=2√3∫<0,2π>dθ∫<0,2√2>rdr/√(12-r^2)(作极座标变换)

=-2√3π∫<0,2√2>d(12-r^2)/√(12-r^2)

=-2√3π(4-4√3)

=8(3-√3)π。

1.原式=

∫∫∫r•r²sindθdφdr(用球座标系）

=∫dθ∫ρ²dρ∫ dz(0《θ《2π，0《φ《π/2，0《r《cosφ)

=π/10

2,原式=∮xds+∮y²ds

=1/3∮(x+y+z)ds+1/3∮(x²+y²+z²)ds(用到轮换对称性）

=1/3∮0ds+1/3∮ds

=2π/3

注：曲线积分可将曲线方程代入

4、先交换积分次序再利用变上限积分求导凑微分解出二重积分，得到等式成立详解如下：

3、由Gauss公式可得：

所求积分=\iiint_{\omga}3dxdydz=3\cdot 4/3\pi=4\pi

解：∵x≥y时，min(x,y)=y、x≤y时，min(x,y)=x，

∴原式=∫(-∞,∞)dx∫(x,∞)ye^(-x²-y²)dy+∫(-∞,∞)dy∫(y,∞)xe^(-x²-y²)dx=(1/2)∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx+(1/2)∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy。

利用“随机变数X~N(0,1)，其密度函式为f(x)=[1/[√(2π)]e^(-x²/2)，∫(-∞,∞)f(x)dx=1”的性质，令x=√(2α)t，易得∫(-∞,∞)e^(-αx²)dx=√(π/α)。

∴原式=√(π/2)。

供参考。

θ的范围很简单，0到π/2。要确定ρ的范围，需要从原点作射线，找它与区域边界的交线，有两种情形，当射线介于x轴与y=x之间时，交点在抛物线y=x^2上；当射线介于y=x与y轴之间时，交点在直线y=1上（相当于用y=x分割区域）。最终区域分为两部分：0≤θ≤π/4，0≤ρ≤sinθ/(cosθ)^2与π/4≤θ≤π/2，0≤ρ≤1/sinθ

D的区域为y∈（0,1），x∈（0，y）。

先对x后对y进行积分，原式=∫dy∫e^y^2dx，前面上下限分别为1和0，后面上下限分别为y和0。

因后面对x积分，y应看做常数，这样∫e^y^2dx=（e^y^2）*x，再把上下限代入就是=（e^y^2）*y-（e^y^2）*0=（e^y^2）*y。代入原式就是=∫（e^y^2）*ydy=0.5∫（e^y^2）d（y^2）=0.5（e^y^2），再把上下限1,0代入就是（e-1）/2，

不知这样说你能明白不

就一个结果

x+y≤2是直线x+y-2=0的下半部分 X^2+(Y-1)^2≤1是以(0,1)为圆心的圆内两图象交点(1,1)

这不能画图你自己画一下他俩围成的面积可以分成两部分以y=1直线为分界下部是个半圆

因为y=1下面是个对称图形所以积分==0

∫(上限2,下限1)dy∫(上限2-y,下限负的根号下(2y-y^2))xdx/y

积出来是2ln2-3/2

你得出3/2-2ln2是怎么分的图形?

恩是理解错了因为x+y≤2表示的部分是直线x+y-2=0的左边所以你说右边和圆围成的那小部分并不是积分割槽间也就是说x,y在那小部分里没有定义因为在那里面x+y的值是大于2的不用算

不管谁减谁答案都一样正负不同而已，体积，所以答案加个绝对值

(1)原式=∫[0，4] dy∫[y^2/4，y] f(x)dx

(2)原式=∫[1，e] dy∫[0，lny] f(x) dx

关于二重积分习题和关于二重积分的的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。